Matematik mantiq matematikaning bir bo'limi hisoblanib, unga rasmiy mantiqni qo'llaydi.
Mantiq jarayonini turli matematik belgilar bilan ifodalashga intilish Arastu asarlarida ham ko'zga tashlanadi. XVI–XVII asrlarga kelib, mexanika va matematika fanining rivojlanishi bilan matematik metodlarni mantiqqa tatbiq etish imkoniyati kengaya bordi. Nemis faylasufi Leybnits har xil masalalarni yechishga imkon beruvchi mantiqiy-matematik metod yaratishga intilib, mantiqni matematiklashtirishga asos soldi. Mantiqiy jarayonni matematik usullar yordamida ifodalash asosan XIX asrda rivojlana boshladi.
Mulohaza va uning qiymati. Matematik mantiqning boshlang'ich tushunchalaridan biri mulohaza tushunchasidir. "Mulohaza" deganda biz rost yoki yolg'onligi haqida fikr yuritish mumkin bo'lgan darak gapni tushunamiz. Har qanday mulohaza yo rost, yoki yolg'on bo'ladi. Hech bir mulohaza bir vaqtning o'zida ham rost, ham yolg'on bo'la olmaydi. Masalan, "2 + 2 = 4", "2 + 2 = 5", "5 son tub son", "1 son tub son", "o'g'ilning yoshi otasining yoshidan katta" mulohazalarining birinchisi rost, ikkinchisi yolg'on, uchinchisi rost, to'rtinchisi va beshinchisi esa yolg'on mulohazalardir.
So'roq va undov gaplar mulohaza bo'la olmaydi. Ta'riflar ham mulohaza bo'la olmaydi. Masalan, "2 ga bo'linuvchi son juft son deyiladi" degan ta'rif mulohaza bo'la olmaydi. Ammo "agar butun son 2 ga bo'linsa, u holda bu son juft son bo'ladi" degan darak gap mulohaza bo'ladi. Bu mulohaza rostdir.
Mulohazaning qiymati deganda biz uning rost yoki yolg'onligini tushunamiz. Mulohazalar odatda lotin alifbosining bosh harflari (A, B, C, …, X, Y, Z) bilan, ularning qiymatlari esa R ("rost") va Y ("yolg'on") harflari bilan belgilanadi. Shuningdek, ularni raqamlar bilan ham belgilash qabul qilingan: rost mulohaza 1, yolg'on mulohaza esa 0 bilan belgilanadi.
Qismlarga ajratilmaydigan mulohazalar elementar mulohazalar deb ataladi. Elementar mulohazalar yordamida undan murakkabroq mulohazalar tuzish mumkin.
Agar mulohazalar o'rtasiga mantiq amallaridan biri qo'yilsa, yangi mulohaza hosil bo'lib, bunday mulohazaga qo'shma mulohaza deyiladi. Mulohazalar algebrasida rost yoki yolg'on tushunchalari asosiy tushunchalardan hisoblanadi. Qo'shma mulohazaning rost yoki yolg'on ekanligini ta'rifdan kelib chiqqan holda jadval asosida ko'rish qulay bo'ladi. Bunday jadvalga rostlik jadvali ham deyiladi.
Quyida biz berilgan mulohazalardan mantiq amallari deb ataladigan amallar yordamida boshqa mulohazalar hosil qilish usullarini ko'rib chiqamiz.
Mantiqiy amallar va formulalar
Mulohazalar ustida quyidagi mantiqiy amallar mavjud: inkor, kon'yunksiya, diz'yunksiya, implikatsiya va ekvivalensiya. Ularning ta'rifi hamda rostlik jadvali quyidagicha bo'ladi:
Inkor. Bizga biror A mulohaza berilgan bo'lsin.
Ta'rif. Berilgan A mulohaza rost bo'lganda yolg'on, yolg'on bo'lganda rost bo'ladigan mulohaza A mulohazaning inkori deyiladi va ¬A orqali belgilanadi.
¬A yozuvi "A emas" yoki "A bo'lishi noto'g'ri" deb o'qiladi. Inkor amali ushbu rostlik jadvali bilan aniqlanadi:
| A | ¬A |
|---|---|
| R (1) | Y (0) |
| Y (0) | R (1) |
Masalan, A mulohaza — "7 tub son" degan rost mulohaza bo'lsin; u holda ¬A — "7 tub son emas" degan yolg'on mulohazadan iborat bo'ladi.
Kon'yunksiya.
Ta'rif. A va B mulohazalarning ikkalasi rost bo'lganda rost bo'ladigan va "va" bog'lovchisi bilan bog'lanadigan qo'shma mulohaza A va B mulohazalarning kon'yunksiyasi deb ataladi hamda A∧B ko'rinishida belgilanadi.
Bu yerdagi A va B mulohazalar mos ravishda A∧B kon'yunksiyaning birinchi va ikkinchi hadlari, "∧" belgisi esa kon'yunksiya amali belgisi deyiladi. A∧B yozuvi "A va B" deb o'qiladi. Kon'yunksiya uchun rostlik jadvali quyidagicha bo'ladi:
| A | B | A∧B |
|---|---|---|
| R (1) | R (1) | R (1) |
| R (1) | Y (0) | Y (0) |
| Y (0) | R (1) | Y (0) |
| Y (0) | Y (0) | Y (0) |
Kon'yunksiya so'zi — "bog'layapman" degan ma'noni anglatadi.
Masalan, A: "Toshkent — O'zbekistonning poytaxti", B: "Termez shahri Farg'ona vodiysida joylashgan", C: "Biz mustaqil yurt farzandlarimiz" degan uchta mulohazani qaraymiz. Ta'rifga ko'ra, ravshanki, A∧B mulohaza yolg'on (chunki A rost, B yolg'on), A∧C rost (chunki A rost, C rost), B∧C yolg'on (chunki B yolg'on, C rost).
Diz'yunksiya.
Ta'rif. A va B mulohazalardan kamida bittasi rost bo'lganda rost bo'ladigan va "yoki" bog'lovchisi bilan bog'lanadigan qo'shma mulohaza A va B mulohazalarning diz'yunksiyasi deb ataladi hamda A∨B ko'rinishida belgilanadi.
A∨B yozuvi "A yoki B" deb o'qiladi, "∨" belgisi diz'yunksiya belgisi deyiladi. A va B lar diz'yunksiyaning mos ravishda birinchi va ikkinchi hadlari deb ataladi.
Diz'yunksiyaning rostlik jadvali quyidagicha bo'ladi:
| A | B | A∨B |
|---|---|---|
| R (1) | R (1) | R (1) |
| R (1) | Y (0) | R (1) |
| Y (0) | R (1) | R (1) |
| Y (0) | Y (0) | Y (0) |
Diz'yunksiya so'zi — "farqlayapman" degan ma'noni anglatadi.
Masalan, 1) "Yozda toqqa chiqamiz yoki dengizga boramiz" diz'yunksiyasini qaraymiz. Bu mulohaza quyidagi hollarda rost bo'ladi: biz toqqa chiqamiz, ammo dengizga bormaymiz; dengizga boramiz, lekin toqqa chiqmaymiz; biz toqqa ham chiqamiz, dengizga ham boramiz. Yangi mulohaza yolg'on bo'ladi, agar biz toqqa ham chiqmasak, dengizga ham bormasak.
2) (5 > 3) ∨ (2 > 7) mulohazaning rost yoki yolg'onligini aniqlaylik. Bu diz'yunksiya rost, chunki (5 > 3) rost mulohaza va (2 > 7) yolg'on mulohazadan tashkil topgan.
3) (3 > 5) ∨ (2 > 7) — mulohaza yolg'on, chunki (3 > 5) yolg'on, (2 > 7) yolg'on.
Implikatsiya.
Ta'rif. A mulohaza rost, B mulohaza yolg'on bo'lgandagina yolg'on, qolgan hollarda rost bo'ladigan mulohazaga A hamda B mulohazalarning implikatsiyasi deyiladi va A→B ko'rinishida belgilanadi.
"→" belgisi implikatsiya belgisi deb ataladi. A→B yozuvi "agar A bo'lsa, u holda B bo'ladi" yoki "A mulohazadan B mulohaza kelib chiqadi" degan ma'nolarni anglatadi. Implikatsiya uchun rostlik jadvali quyidagicha bo'ladi:
| A | B | A→B |
|---|---|---|
| R (1) | R (1) | R (1) |
| R (1) | Y (0) | Y (0) |
| Y (0) | R (1) | R (1) |
| Y (0) | Y (0) | R (1) |
Implikatsiya so'zi — "mahkam bog'layapman" degan ma'noni anglatadi.
Masalan, 1) "Agar 72 soni 9 ga karrali bo'lsa, u holda bu son 3 ga ham karrali bo'ladi". Bu rost implikatsiya.
2) "Agar x = 2 bo'lsa, u holda x² = 9 bo'ladi" implikatsiyasi yolg'on, chunki shart (x = 2) rost, lekin xulosa (x² = 9) yolg'on.
Ekvivalensiya.
Ta'rif. A va B mulohazalar bir vaqtda rost yoki bir vaqtda yolg'on bo'lganda rost bo'ladigan mulohaza A va B mulohazalarning ekvivalensiyasi deyiladi va A↔B ko'rinishida belgilanadi.
A↔B yozuvi "A faqat va faqat, qachonki B", yoki "A ekvivalent B", yoki "B uchun A zarur va yetarli" deb o'qiladi. Ekvivalensiyaning rostlik jadvali quyidagicha bo'ladi:
| A | B | A↔B |
|---|---|---|
| R (1) | R (1) | R (1) |
| R (1) | Y (0) | Y (0) |
| Y (0) | R (1) | Y (0) |
| Y (0) | Y (0) | R (1) |
Masalan, A: "972 soni 9 ga karrali", B: "972 sonining raqamlari yig'indisi 9 ga karrali" mulohazalari berilgan bo'lsin. U holda A va B mulohazalarning ekvivalensiyasi quyidagicha bo'ladi: "972 soni 9 ga karrali bo'ladi, faqat va faqat shu holda, qachonki bu sonning raqamlari yig'indisi 9 ga karrali bo'lsa". Bu ekvivalensiya rostdir.
Matematik mulohazalarni yuqoridagi belgilar yordamida ifoda etishga doir misollar keltiramiz:
1-misol. Agar x > 0 va y > 0 bo'lsa, x + y > 0 bo'ladi:
- (x > 0) ∧ (y > 0) → (x + y > 0)
2-misol. x > 0 bo'lsa, x² > 0 bo'ladi:
- x > 0 → x² > 0
3-misol. x > 0 yoki y > 0 bo'lsa, x + y > 0 bo'ladi va aksincha, x + y > 0 bo'lsa, x > 0 yoki y > 0 bo'ladi:
- (x > 0) ∨ (y > 0) ↔ (x + y > 0)
4-misol. x > 0 va y > 0 bo'lsa, xy > 0 bo'ladi:
- (x > 0) ∧ (y > 0) → (xy > 0)
5-misol. Ixtiyoriy x haqiqiy son uchun x² ≥ 0:
- ∀x ∈ ℝ : x² ≥ 0
6-misol. Ixtiyoriy n natural son uchun shunday m natural son mavjudki, m > n bo'ladi:
- ∀n ∈ ℕ, ∃m ∈ ℕ : m > n
Mantiqiy qonunlarga amal qilish to'g'ri, tushunarli, aniq, izchil, ziddiyatsiz va asoslangan fikr yuritishga imkon beradi. Aniqlik, izchillik, ziddiyatlardan xoli bo'lish va isbotlilik to'g'ri tafakkurlashning asosiy belgilaridir.
Mulohazalar hisobi
"Mulohaza" va "isbot" so'zlarining kundalik tildagi mazmuni anchayin noaniq. Shu sababli, bu tushunchalarni aniq ta'riflash uchun maxsus formal (ya'ni formulalarga tayangan) tildan foydalaniladi.
Formal tilda mantiqiy bog'lovchilar deb ataladigan maxsus belgilardan foydalaniladi: ∧ — mantiqiy ko'paytirish (kon'yunksiya), ∨ — mantiqiy qo'shish (diz'yunksiya) amallari deb yuritiladi. A∧B mulohazani "A va B"; A∨B mulohazani "A yoki B"; A→B mulohazani "A mulohazadan B mulohaza kelib chiqadi" yoki "agar A bo'lsa, u holda B bo'ladi"; A↔B mulohazani "A bo'ladi, faqat va faqat shu holdaki, agar B bo'lsa" deb o'qiymiz. Mulohazalar to'plamini M harfi bilan belgilaylik. U holda M to'plam, unda bajariladigan barcha ¬, ∧, ∨, →, ↔ amallari bilan birgalikda mulohazalar algebrasi deb yuritiladi. Mulohazalar algebrasini qisqacha MA orqali belgilaymiz. M to'plamda bajariladigan amallar bajarilish tartibi quyidagicha: avval inkor amali bajariladi; agar inkor amali qavslardan tashqarida bo'lsa, u holda qavs ichidagi amallar bajariladi. Keyin kon'yunksiya, undan so'ng diz'yunksiya, implikatsiya va nihoyat ekvivalensiya amallari bajariladi.
Ta'rif. A, B, C, … mulohazalarni inkor, diz'yunksiya, kon'yunksiya, implikatsiya va ekvivalensiya kabi mantiqiy bog'lovchilar vositasi bilan ma'lum tartibda birlashtirib hosil etilgan murakkab mulohaza mantiqiy formula deyiladi.
Mantiqiy formulalar tabiiy tildagi mulohazalarning matematik modeli bo'ladi. Mulohazalar hisobida mantiqiy formulalar rostlik jadvallari yordamida izohlanadi. Bunday jadvallar mantiqiy bog'lovchi orqali tuzilgan murakkab mulohazaning rost (1) yoki yolg'on (0) ligini tashkil etuvchi mulohazalar rostligiga qarab aniqlanadi. Yuqoridagi amallarning rostlik jadvallaridan foydalanib, yanada murakkabroq mulohazalar uchun rostlik jadvali tuzish mumkin.
Masalan, (A→B) ↔ (¬A∨B) mulohazaning rostlik jadvalini tuzaylik:
| A | B | A→B | ¬A | ¬A∨B | (A→B) ↔ (¬A∨B) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Jadvalni yakunlab, qaralayotgan A va B mulohazalar rostligidan qat'i nazar (A→B) ↔ (¬A∨B) mulohaza doim rost bo'lishini ko'ramiz. Bunday doim rost bo'ladigan formulalar tavtologiya deb ataladi.
Asosiy mantiqiy qonunlar
1. A∨¬A — uchinchisini inkor qilish qonuni.
Bu qonun quyidagicha ifodalanadi: bir-biriga zid bo'lgan ikki fikrdan biri hamisha to'g'ri (rost) bo'lib, ikkinchisi xatodir; uchinchisi bo'lishi mumkin emas.
Masalan, bir vaqtning o'zida, bir xil sharoitda inson yo axloqli, yo axloqsiz bo'ladi.
2. A∧¬A = 0 — ziddiyatsizlik qonuni.
Bu qonun quyidagicha ifodalanadi: buyum va hodisalar bir vaqtda, bir xil sharoitda biror xususiyatga ham ega bo'lishi, ham ega bo'lmasligi mumkin emas.
Masalan, bir vaqtning o'zida, bir xil sharoitda inson ham axloqli, ham axloqsiz bo'lishi mumkin emas.
3. ¬(¬A) ↔ A — qo'sh inkor qonuni.
"Bu kishi ilg'or emas degan gap to'g'ri emas" degan fikr "bu kishi ilg'or" degan fikrga teng kuchli.
4. (A→B) ↔ (¬B→¬A) — kontrapozitsiya qonuni.
Bu qonun inkor amali yordamida tezis (isbotlanishi kerak bo'lgan fikr) va asosni (tezisni isboti uchun keltirilgan dalillar) o'rinlarini almashtirishga imkon yaratadi.
Masalan, "Agar shaxs chuqur bilimga ega bo'lsa, u holda u komil inson bo'ladi" degan mulohaza "Komil inson bo'lmagan shaxs chuqur bilimga ega bo'lmaydi" degan mulohazaga teng kuchli.
5. ¬(A∧B) ↔ (¬A∨¬B);
¬(A∨B) ↔ (¬A∧¬B) — De Morgan qonunlari.
De Morgan qonunlari inkor amali yordamida kon'yunksiya va diz'yunksiya amallarini bir-biri bilan almashtirishga imkon yaratadi.
Masalan, 1) "Halol va vijdonli inson axloqli bo'ladi" mulohazaning inkori "Halol bo'lmagan yoki vijdonli bo'lmagan inson axloqsiz bo'ladi" mulohazaga teng kuchli.
2) "Men darsdan so'ng yo kutubxonaga, yo do'stimnikiga bordim" mulohazaning inkori "Men darsdan so'ng kutubxonaga ham, do'stimnikiga ham bormadim" mulohazaga teng kuchli.
6. (A→B) ↔ (¬A∨B).
Masalan, "Agar bo'sh vaqtim bo'lsa, unda televizor ko'raman" mulohaza "Yoki bo'sh vaqtim bo'lmaydi, yoki televizor ko'raman" mulohazaga teng kuchli.
7. A∧B ↔ B∧A; A∨B ↔ B∨A — kommutativlik qonunlari.
Kommutativlik qonunlari o'z-o'zidan ravshan bo'lsa ham, ularni o'ylamasdan qo'llashda muammolarga duch bo'lish mumkin. Bu holatga Kleen misolini keltiramiz:
A: "Maryam turmushga chiqdi"; B: "Maryam farzand ko'rdi".
Bu holda A∧B va B∧A formulalar mantiqan teng bo'lsa-da, mazmunan bir xil talqinga ega bo'lmasligi mumkin, chunki yuqoridagi mulohazalarda ko'rinmas holda vaqt parametri ishtirok etadi.
8. (A∧B)∧C ↔ A∧(B∧C); (A∨B)∨C ↔ A∨(B∨C) — assotsiativlik qonunlari.
9. A∧(B∨C) ↔ (A∧B)∨(A∧C); A∨(B∧C) ↔ (A∨B)∧(A∨C) — distributivlik qonunlari.
10. A∧A ↔ A; A∨A ↔ A — idempotentlik qonunlari.